高中数学教案模板范文模板
作为一名老师,总归要编写教案,教案是实施教学的主要依据,有着至关重要的作用。那么问题来了,教案应该怎么写?以下是小编收集整理的高中数学教案模板范文模板,欢迎阅读,希望大家能够喜欢。
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一、教学目标
(一)知识与技能
1、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。
2、体会数学实验的直观性、有效性,提高几何画板的操作能力。
(二)过程与方法
1、培养学生观察能力、抽象概括能力及创新能力。
2、体会感性到理性、形象到抽象的思维过程。
3、强化类比、联想的方法,领会方程、数形结合等思想。
(三)情感态度价值观
1、感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美
2、树立竞争意识与合作精神,感受合作交流带来的成功感,树立自信心,激发提出问题和解决问题的勇气
二、教学重点与难点
教学重点:运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹
教学难点:图形、文字、符号三种语言之间的过渡
三、、教学方法和手段
【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。启发引导学生积极思考并对学生的思维进行调控,帮助学生优化思维过程,在此基础上,提供给学生交流的机会,帮助学生对自己的思维进行组织和澄清,并能清楚地、准确地表达自己的数学思维。
【教学手段】利用网络教室,四人一机,多媒体教学手段。通过上述教学手段,一方面:再现知识产生的过程,通过多媒体动态演示,突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍(静态到动态);另一方面:节省了时间,提高了课堂教学的效率,激发了学生学习的兴趣。
【教学模式】重点中学实施素质教育的课堂模式"创设情境、激发情感、主动发现、主动发展"。
四、教学过程
1、创设情景,引入课题
生活中我们四处可见轨迹曲线的影子
【演示】这是美丽的城市夜景图
【演示】许多人认为天体运行的轨迹都是圆锥曲线,研究表明,天体数目越多,轨迹种类也越多
【演示】建筑中也有许多美丽的轨迹曲线
设计意图:让学生感受数学就在我们身边,感受轨迹曲线的动态美、和谐美、对称美,激发学习兴趣。
2、激发情感,引导探索
靠在墙角的梯子滑落了,如果梯子上站着一个人,我们不禁会想,这个人是直直的摔下去呢?还是划了一条优美的曲线飞出去呢?我们把这个问题转化为数学问题就是新教材高二上册88页20题,也就是这里的例题1;
例1、线段长为,两个端点和分别在轴和轴上滑动,求线段的中点的轨迹方程。
第一步:让学生借助画板动手验证轨迹
第二步:要求学生求出轨迹方程
法一:设,则
由得,化简得
法二:设,由得
化简得
法三:设,由点到定点的距离等于定长,根据圆的定义得;
第三步:复习求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系
(2)设动点的坐标M(x,y)
(3)列出动点相关的约束条件p(M)
(4)将其坐标化并化简,f(x,y)=0
(5)证明
其中,最关键的一步是根据题意寻求等量关系,并把等量关系坐标化
设计意图:在这里我借助几何画板的动画功能,先让学生直观地、形象地、动态地感受动点的轨迹是圆,接着要求学生求出轨迹方程,最后师生共同回顾求轨迹方程的一般步骤,达到熟练掌握直译法、定义法,体会从感性到理性、从形象到抽象的思维过程。
3、主动发现、主动发展
由上述例1可知,如果人站在梯子中间,则他会划了一段优美的圆弧飞出去。学生很自然就会想,如果人不是站在中间,而是随意站,结果会怎样呢?让学生动手探究M不是中点时的轨迹。
第一步:利用网络平台展示学生得到的轨迹(教师有意识的整合在一起)
设计意图:借助数学实验,把原本属于教师行为的设疑激趣还原于学生,让学生自己在实践过程中发现疑问,更容易激发学生学习的热情,促使他们主动学习。
第二步:分解动作,向学生提出3个问题:
问题1:当M位置不同时,线段BM与MA的大小关系如何?
问题2、体现BM与MA大小关系还有什么常见的形式?
问题3、你能类比例1把这种数量关系表达出来吗?
第三步:展示学生归纳、概括出来的数学问题
1、线段AB的长为2a,两个端点B和A分别在X轴和Y轴上滑动,点M为AB上的点,满足,求点M的轨迹方程。
2、线段AB的长为2a,两个端点B和A分别在X轴和Y轴上滑动,点M为AB上的点,满足,求点M的轨迹方程。
3、线段AB的长为2a,两个端点B和A分别在X轴和Y轴上滑动,点M为AB上的点,满足,求点M的轨迹方程。(说明是什么轨迹)
第四步:课堂完成学生归纳出来的问题1,问题2和3课后完成
4、合作探究、实现创新
改变A、点的运动方式,同样考虑中点的轨迹,教师进行适当的指导(这里固定A点,运动B点)
学生主要列出了以下几种运动方式:圆、椭圆、双曲线、抛物线,并且得出了一些相应的轨迹。
5、布置作业、实现拓展
1、把上述同学们探究得到的轨迹图形用文字、符号描述出来,(仿造例1),并求出轨迹方程。
2、已知A(4,0),点B是圆上一动点,AB中垂线与直线OB相交于点P,求点P的轨迹方程。
3、已知A(2,0),点B是圆上一动点,AB中垂线与直线OB相交于点P,求点P的轨迹方程。
4、若把上述问题中垂线改为一般的垂线与直线OB相交于点P,请同学们利用画板验证点P的轨迹。
以下是学生课后探究得到的一些轨迹图形,课后有学生问,如果X轴和Y轴不垂直会有什么结果?定长的线段在上面滑动怎么做出来?
可以说,学生的这些问题我之前并没有想过,给了我很大的触动,同时也促使我更进一步去研究几何画板,提高自己的能力。在这里,我体会到了教师不再只是一根根蜡烛,更像是一盏盏明灯,在照亮别人的同时也照亮自己。
以下是X轴和Y轴不垂直时的轨迹图形
五、教学设计说明:
(一)、教材
《平面动点的轨迹》是高二一节探究课,轨迹问题具有深厚的生活背景,求平面动点的轨迹方程涉及集合、方程、三角、平面几何等基础知识,其中渗透着运动与变化、方程的思想、数形结合的思想等,是中学数学的重要内容,也是历年高考数学考查的重点之一。
(二)、校情、学情
校情:我校是一所省一级达标校,省级示范性高中,学校的硬件设施比较完善,每间教室都具备多媒体教学的'功能,另外有两间网络教室和一个学生电子阅室,并且能随时上网。
学情:大部分学生家里都有电脑,而且能随时上网。对学生进行了几何画板基本操作的培训,学生能较快的画出圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本的圆锥曲线。学生对求轨迹方程的基本方法有了一定的掌握,但是对文字、图形、符号三种语言之间的转换还存在很大的差异,在合作交流意识方面,发展不均衡,有待加强。
(三)学法
观察、实验、交流、合作、类比、联想、归纳、总结
(四)、教学过程
1、创设情景,引入课题
2、激发情感,引导探索
由梯子滑落问题抽象、概括出数学问题
第一步:让学生借助画板动手验证轨迹
第二步:要求学生求出轨迹方程
第三步:复习求轨迹方程的一般步骤
3、主动发现、主动发展
探究M不是中点时的轨迹
第一步:利用网络平台展示学生得到的轨迹
第二步:分解动作,向学生提出3个问题:
第三步:展示学生归纳、概括出来的数学问题
4、合作探究、实现创新
改变A、点的运动方式,同样考虑中点的轨迹,教师进行适当的指导(这里固定A点,运动B点)
学生主要列出了以下几种运动方式:圆、椭圆、双曲线、抛物线,并且得出了一些相应的轨迹。
5、布置作业、实现拓展
(五)、教学特色:
借助网络、多媒体教学平台,让学生自己动手实验,发现问题并解决问题,同时把学生的学习情况及时的展现出来,做到大家一起学习,一起评价的效果。同时节省了时间,提高了课堂效率。
整个教学过程,体现了四个统一:既学习书本知识与投身实践的统一、书本学习与现代信息技术学习的统一、书本知识与资源拓展的统一、课堂学习与课外实践的统一。
本节课学生精神饱满、兴趣浓厚、合作积极,与我保持良好的互动,还不时产生一些争执,给我提出了一些新的问题,折射出我不足的方面,促进了我的进步与提高,师生间的教与学就像一面镜子,互相折射,共同进步。
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教学目标
(1)正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列;
(2)了解排列和排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列;
(3)会分析与数字有关的排列问题,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;
教学重点难点
重点是排列的定义、排列数并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。
难点是解有关排列的应用题。
教学过程设计
一、复习引入
上节课我们学习了两个基本原理,请大家完成以下两题的练习(用投影仪出示):
1、书架上层放着50本不同的社会科学书,下层放着40本不同的自然科学的书。
(1)从中任取1本,有多少种取法?
(2)从中任取社会科学书与自然科学书各1本,有多少种不同的取法?
2、某农场为了考察三个外地优良品种A,B,C,计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验,问共需安排多少个试验小区?
找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程
第1(1)小题从书架上任取1本书,有两类办法,第一类办法是从上层取社会科学书,可以从50本中任取1本,有50种方法;第二类办法是从下层取自然科学书,可以从40本中任取1本,有40种方法。根据加法原理,得到不同的取法种数是50+40=90。第(2)小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本(共取出2本),可以分两个步骤完成:第一步取一本社会科学书,第二步取一本自然科学书,根据乘法原理,得到不同的取法种数是:50×40=20xx。
第2题说,共有A,B,C三个优良品种,而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区,在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区。
二、讲授新课
学习了两个基本原理之后,现在我们继续学习排列问题,这是我们本节讨论的重点。先从实例入手:
1、北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同飞机票?
由学生设计好方案并回答。
(1)用加法原理设计方案。
首先确定起点站,如果北京是起点站,终点站是上海或广州,需要制2种飞机票,若起点站是上海,终点站是北京或广州,又需制2种飞机票;若起点站是广州,终点站是北京或上海,又需要2种飞机票,共需要2+2+2=6种飞机票。
(2)用乘法原理设计方案。
首先确定起点站,在三个站中,任选一个站为起点站,有3种方法。即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站,当选定起点站后,再确定终点站,由于已经选了起点站,终点站只能在其余两个站去选。那么,根据乘法原理,在三个民航站中,每次取两个,按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种。
根据以上分析由学生(板演)写出所有种飞机票
再看一个实例。
在航海中,船舰常以“旗语”相互联系,即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号。如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子,按一定顺序同时升起表示一定的信号,问这样总共可以表示出多少种不同的信号?
找学生谈自己对这个问题的想法。
事实上,红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号,所以不同颜色的`同时升起可以表示出来的信号种数,也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数。
首先,先确定位置的旗子,在红、黄、绿这三面旗子中任取一个,有3种方法;
其次,确定中间位置的旗子,当位置确定之后,中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取,有2种方法。剩下那面旗子,放在最低位置。
根据乘法原理,用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是:3×2×1=6(种)。
根据学生的分析,由另外的同学(板演)写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况。(包括每个位置情况)
第三个实例,让全体学生都参加设计,把所有情况(包括每个位置情况)写出来。
由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数?写出这些所有的三位数。
根据乘法原理,从四个不同的数字中,每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24(个)。
请板演的学生谈谈怎样想的?
第一步,先确定百位上的数字。在1,2,3,4这四个数字中任取一个,有4种取法。
第二步,确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后,十位上的数字只能从余下的三个数字去取,有3种方法。
第三步,确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后,个位上的数字只能从余下的两个数字中去取,有2种方法。
根据乘法原理,所以共有4×3×2=24种。
下面由教师提问,学生回答下列问题
(1)以上我们讨论了三个实例,这三个问题有什么共同的地方?
都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象。
(2)取出的这些研究对象又做些什么?
实质上按着顺序排成一排,交换不同的位置就是不同的情况。
(3)请大家看书,第×页、第×行。我们把被取的对象叫做双元素,如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素。
上面第一个问题就是从3个不同的元素中,任取2个,然后按一定顺序排成一列,求一共有多少种不同的排法,后来又写出所有排法。
第二个问题,就是从3个不同元素中,取出3个,然后按一定顺序排成一列,求一共有多少排法和写出所有排法。
第三个问题呢?
从4个不同的元素中,任取3个,然后按一定的顺序排成一列,求一共有多少种不同的排法,并写出所有的排法。
给出排列定义
请看课本,第×页,第×行。一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情况),按着一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
下面由教师提问,学生回答下列问题
(1)按着这个定义,结合上面的问题,请同学们谈谈什么是相同的排列?什么是不同的排列?
从排列的定义知道,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序(即元素所在的位置)也必须相同。两个条件中,只要有一个条件不符合,就是不同的排列。
如第一个问题中,北京—广州,上海—广州是两个排列,第三个问题中,213与423也是两个排列。
再如第一个问题中,北京—广州,广州—北京;第二个问题中,红黄绿与红绿黄;第三个问题中231和213虽然元素完全相同,但排列顺序不同,也是两个排列。
(2)还需要搞清楚一个问题,“一个排列”是不是一个数?
生:“一个排列”不应当是一个数,而应当指一件具体的事。如飞机票“北京—广州”是一个排列,“红黄绿”是一种信号,也是一个排列。如果问飞机票有多少种?能表示出多少种信号。只问种数,不用把所有情况罗列出来,才是一个数。前面提到的第三个问题,实质上也是这样的
三、课堂练习
大家思考,下面的排列问题怎样解?
有四张卡片,每张分别写着数码1,2,3,4。有四个空箱,分别写着号码1,2,3,4。把卡片放到空箱内,每箱必须并且只能放一张,而且卡片数码与箱子号码必须不一致,问有多少种放法?(用投影仪示出)
分析:这是从四张卡片中取出4张,分别放在四个位置上,只要交换卡片位置,就是不同的放法,是个附有条件的排列问题。
解法是:第一步把数码卡片四张中2,3,4三张任选一个放在第1空箱。
第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱。
第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱。
第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱。具体排法,用下面图表表示:
所以,共有9种放法。
四、作业
课本:P232练习1,2,3,4,5,6,7。
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一、教学目标
1、知识与能力目标
①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。
②使学生会判断一些简单数列的极限,了解数列极限的“e—N"定义,能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。
③通过观察运动和变化的过程,归纳总结数列与其极限的特定关系,提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。
2、过程与方法目标
培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。
3、情感、态度、价值观目标
使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系,培养学生的辩证唯物主义观点。
二、教学重点和难点
教学重点:数列极限的概念和定义。
教学难点:数列极限的“ε―N”定义的理解。
三、教学对象分析
这节课是数列极限的第一节课,足学生学习极限的入门课,对于学生来说是一个全新的内容,学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段,在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触,而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题,很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解,并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时,数列{an}中的项an无限趋近于常数A,也就是an与A的差的绝对值无限趋近于0”,并能用这个定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内掌握“ε—N”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难,能够通过具体的几个例子,归纳研究一些简单的数列的极限。使学生理解极限的基本概念,认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。
四、教学策略及教法设计
本课是采用启发式讲授教学法,通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一个实际问题入手,引起学生的注意,激发学生的学习兴趣。然后通过具体的两个比较简单的数列,运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大,无限地趋向于某个常数的过程,让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征,从而得出数列极限的一个描述性定义。再在教师的引导下分析数列极限的各种不同情况。从而对数列极限有了直观上的认识,接着让学生根据数列中各项的情况判断一些简单的数列的极限。从而达到深化定义的效果。最后进行练习巩固,通过这样的一个完整的教学过程,由观察到分析、由定量到定性,由直观到抽象,并借助于多媒体课件的演示,使得学生逐步地了解极限这个新的概念,为下节课的极限的运算及应用做准备,为以后学习高等数学知识打下基础。在整个教学过程中注意突出重点,突破难点,达到教学目标的要求。
五、教学过程
1、创设情境
课件展示创设情境动画。
今天我们将要学习一个很重要的新的知识。
情境
(1)我国古代数学家刘徽于公元263年创立“割圆术”,“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至不可割,则与圆周合体而无所失矣”。
情境
(2)我国古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:一尺之棰,日取其半,万世不竭。也就是说拿一根木棒,将它切成一半,拿其中一半来再切成一半,得到四分之一,再切成一半,就得到了八分之?如此下去,无限次地切,每次都切一半,问是否会切完?
大家都知道,这是不可能切完的,但是每次切了以后,木棒都比原来的少了一半,也就是说木棒的长度越来越短,但永远不会变成零。从而引出极限的概念。
2、定义探究
展示定义探索(一)动画演示。
问题1:请观察以下无穷数列,当n无限增大时,a,I的变化趋势有什么特点?
(1)1/2,2/3,3/4,n/n—1
(2)0.9,0.99,0.999,0.9999,1—1/10n
问题2:观察课件演示,请分析以上两个数列随项数n的增大项有那些特点?
师生一起归纳总结出以下结论:数列(1)项数n无限增大时,项无限趋近于1;数列(2)项数n无限增大时,项无限趋近于1。
那么就把1叫数列(1)的极限,1叫数列(2)的极限。这两个数列只是形式不同,它们都是随项数n的无限增大,项无限趋近于某一确定常数,这个常数叫做这个数列的极限。
那么,什么叫数列的极限呢?对于无穷数列an,如果当n无限增大时,an无限趋向于某一个常数A,则称A是数列an的极限。
提出问题3:怎样用数学语言来定量描述呢?怎样用数学语言来描述上述数列的变化趋势?
展示定义探索(二)动画演示。
师生共同总结发现在数轴上两点间距离越小,项与1越趋近,因此可以借助两点间距离无限小的方式来描述项无限趋近常数。无论预先指定多么小的正数e,如取e=O—1,总能在数列中找到一项am,使得an项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε,若取£=0.0001,则第6项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε,即1是数列(1)的极限。最后,师生共同总结出数列的极限定义中应包含哪量(用这些量来描述数列1的极限)。
数列的极限为:对于任意的ε>0,如果总存在自然数N,当n>N时,不等式|an—A|n的极限。
课件可以实现任意输入一个n值,可以计算出相应的数列第n项的值,并且动画演示数列的变化过程。如图1所示是课件运行时的一个画面。
定义探索动画(二)课件可以实现任意输入一个n值,可以计算出相应的数列第n项的值和Ian一1I的.值,并且动画演示出第an项和1之间的距离。如图2所示是课件运行时的一个画面。
3、知识应用
这里举了3道例题,与学生一块思考,一起分析作答。
例1、已知数列:
1,—1/2,1/3,—1/4,1/5,(—1)n+11/n,(1)计算an—0(2)第几项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.017都小于任意指定的正数。
(3)确定这个数列的极限。
例2、已知数列:
已知数列:3/2,9/4,15/8,2+(—1/2)n。
猜测这个数列有无极限,如果有,应该是什么数?并求出从第几项开始,各项与这个极限的差都小于0.1,从第几项开始,各项与这个极限的差都小于0.017
例3、求常数数列一7,一7,一7,一7,的极限。
4、知识小结
这节课我们研究了数列极限的概念,对数列极限有了初步的认识。数列极限研究的是无限变化的趋势,而通过对数列极限定义的探讨,我们看到这一过程又是通过有限来把握的,有限与无限、近似与精确、量变与质变之间的辩证关系在这里得到了充分的体现。
课后练习:
(1)判断下列数列是否有极限,如果有的话请求出它的极限值。①an=4n+l/n;②an=4—(1/3)m;③an=(—1)n/3n;④aan=—2;⑤an=n;⑥an=(—1)n。
(2)课本练习1,2。
5、探究性问题
设计研究性学习的思考题。
提出问题:
芝诺悖论:阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟,因为当阿基里斯到达乌龟的起跑点时,乌龟已经走在前面一小段路了,阿基里斯又必须赶过这一小段路,而乌龟又向前走了。这样,阿基里斯可无限接近它,但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是乌龟速度的10倍,阿基里斯与乌龟赛跑的路程是1公里。如果让乌龟先跑0.1公里,当阿基里斯追到O。1公里的地方,乌龟又向前跑了0.01公里。当阿基里斯追到0.01公里的地方,乌龟又向前跑了0.001公里这样一直追下去,阿基里斯能追上乌龟吗?
这里是研究性学习内容,以学生感兴趣的悖论作为课后作业,巩固本节所学内容,进一步提高了学生学习数列的极限的兴趣。同时也为学生创设了课下交流与讨论的情境,逐步培养学生相互合作、交流和讨论的习惯,使学生感受到了数学来源于生活,又服务于生活的实质,逐步养成用数学的知识去解决生活中遇到的实际问题的习惯。